Las líneas están formadas por sucesiones de puntos muy unidos, en donde la percepción visual nos indica que el trazo es continuo, es decir, que existe una cantidad infinita de puntos; sin embargo, a veces estos puntos no siguen una misma dirección y generan líneas curvas, pero si tienen continuidad en la misma dirección forman una línea recta.
Y es debido a esta última que se pueden obtener líneas paralelas, ángulos, perpendiculares y empalmes, muy útiles en el área matemática y otras afines, por lo que es necesario aprender a representar la línea con precisión y exactitud.
De ese modo, con el contenido que visualices en la presente unidad de apoyo, podrás constatar diversos procedimientos para la construcción de elementos relacionados con la línea recta.
El estudio de este tema, te permitirá:
Reconocer los procedimientos geométricos para el trazo de líneas paralelas, ángulos, perpendiculares y empalmes, con la finalidad de obtener herramientas aplicables en contextos cotidianos, académicos o profesionales.
(s. a.) (2017). Líneas [ilustración]. Tomada de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2-punktperspektive.svg
La construcción de una línea puede lograrse al utilizar adecuadamente las escuadras. Para el caso de esta unidad se proponen tres posiciones.
Para llevar a cabo esta posición, que sirve para el trazo de líneas paralelas horizontales, debes colocar tu escuadra de 45°, de modo que el lado largo o hipotenusa permanezca horizontal. Después, pega la hipotenusa de la escuadra de 30° con el ángulo menor hacia tu abdomen.
Esta posición se utiliza en el trazo de líneas paralelas verticales, que siempre resultarán perpendiculares a la primera. Para llevarla a cabo, mantén fija la escuadra de 30°, como en la primera posición; después, da un cuarto de giro a la escuadra de 45° en el sentido de las manecillas del reloj; observarás que el lado corto o cateto pega con el mismo lado de la escuadra guía, y también notarás que la hipotenusa de la escuadra de 45° está en posición vertical.
Para llevar a cabo esta posición, fija como guía la escuadra de 45°, es decir, de forma horizontal, y coloca la escuadra de 30° sobre ésta; girando la segunda escuadra podrás trazar líneas, considerando ángulos de 30°, 60°, 90°, 120° y 150°.
En los siguientes subtemas se mostrará la resolución de problemas para la construcción de líneas, en los cuales se te proporcionarán los datos necesarios, así como diferentes procedimientos a través de compás y escuadras, sólo con escuadras y calculando coordenadas.
En el libro primero de Elementos, de Euclides, se define a las rectas paralelas como aquellas que se ubican en un mismo plano y son prolongadas indefinida o infinitamente en ambos sentidos, sin que se encuentren una a otra en ninguno de ellos (Euclides.org, 2014).
A continuación, se te presentan dos problemas en relación con las paralelas, los cuales tienen diferentes soluciones.
Como lograste apreciar a través de los problemas, para este tipo de líneas todos los puntos son equidistantes y nunca se juntarán o alejarán; de hecho dicha afirmación puede demostrarse al trazar líneas perpendiculares a las primeras, observando que son de la misma longitud.
En el libro primero de Elementos, de Euclides, se definen algunos tipos de ángulos (Euclides.org, 2014):
Con el fin de que puedas diferenciar aquellos ángulos a los que se les aplican funciones específicas, observa la siguiente clasificación.
A continuación, se te presentan dos problemas en relación con los ángulos, los cuales tienen diferentes soluciones.
El resumen, el ángulo es una figura geométrica formada en el plano por dos líneas que parten de un punto vértice; además, los ángulos positivos se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj; por lo tanto, un giro mide 360º y con las escuadras puedes seguirlo para trazar diversos ángulos de manera directa. De ese modo, todas las líneas tienen una inclinación, que es el ángulo formado con una línea horizontal imaginaria.
Dos rectas forman un ángulo de 90°, como en el caso especial de las perpendiculares y mediatrices. Por otro lado, para simbolizar un ángulo recto se colocan dos líneas perpendiculares o se anota el valor (90°), aunque muchas veces no te será necesario colocar ambos.
A continuación, se te presentan tres problemas en relación con las perpendiculares, los cuales tienen diferentes soluciones.
Como lo dice el libro primero de Elementos, de Euclides, la perpendicular se genera cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales; entonces, cada uno de los ángulos es recto (Euclides.org, 2014).
En el libro quinto de Elementos, de Euclides, se destacan algunos principios en relación con la proporcionalidad (Euclides.org, 2014).
Si analizamos los cuatro principios, se puede decir que la proporción es la igualdad entre las partes en relación con el todo. De hecho, en la vida cotidiana se nos presentan situaciones en las que se aplica la proporcionalidad.
Para calcular geométricamente la proporción se aplica la propiedad que tienen los triángulos: cuando sus ángulos internos son iguales, los triángulos de diferentes tamaños son proporcionales.
En la imagen se puede apreciar que los triángulos ABE, ACF y ADG son proporcionales. Esto se demuestra en la razón de 100 %, 200 % y 300 %, en donde el tamaño de la hipotenusa se va incrementando en múltiplos de 100.
A continuación, se te presenta un problema en relación con la proporcionalidad, el cual tiene diferentes soluciones.
En el diseño de impresos, como revistas y libros, o de sitios electrónicos, la proporcionalidad es de gran utilidad, ya que las imágenes fotográficas casi nunca tienen el mismo formato que el de las ventanas en donde se insertarán. Esto es de crucial importancia, porque un archivo debería de tener el peso, tamaño y proporción ideal para que todo quede y funcione a la perfección.
En el libro tercero de Elementos, de Euclides, se explica el empalme a partir de la tangencia entre una línea y una circunferencia. De ese modo, una recta es tangente a una circunferencia cuando la toca y al ser alargada no la corta (Euclides.org, 2014). Por ello, como se aprecia en el siguiente ejemplo, las líneas se empalman a la circunferencia al pasar por algún punto sin cortarla y sin que las puntas afecten la continuidad. Esto se logra al hacer que los radios sean perpendiculares a cada línea en el punto que se tocan.
Complementando la idea anterior, es posible unir líneas predeterminadas mediante el uso de arcos de circunferencia, de tal manera que no se den saltos abruptos y se pierda lisura.
A continuación, se te presenta un problema en relación con los empalmes de líneas. Dadas sus características, sólo existe solución dibujando con escuadras.
Problema 9. Dados los segmentos de recta AB y DE con diferentes inclinaciones, empalmarlos con un arco de radio C.
Utilizando las escuadras en primera y segunda posición, levanta perpendiculares por la parte media de cada recta dada, hacia la dirección en donde quedará el centro de la circunferencia. Luego localiza los puntos C y C’ con una distancia igual al radio que se te proporcionó.
Con la primera posición de las escuadras traza paralelas a DE y AB, las cuales pasen por los puntos que encontraste en el paso anterior.
Identifica la intersección de las paralelas como F.
Desde F, traza rectas perpendiculares a DE y AB. En el ejemplo puedes apreciar que las rectas FB y FD quedan justas, por lo que no fue necesaria la prolongación, pero no siempre sucede así.
Haciendo eje en F y con radio FB = C, traza con tu compás el arco BD, que es la línea que empalma las rectas dadas, ya que éstas son tangentes al arco en esos puntos.
Como lograste observar en el problema, el empalme de líneas surge al momento en que dos rectas se unen con un arco de circunferencia; además, siguiendo a Euclides, ninguna de las dos líneas debe cortar a la circunferencia que las une, generar la existencia de brincos y formar picos.
Las líneas rectas son útiles en campos de conocimiento como la arquitectura, la mecánica y también en el diseño; en fin, podemos encontrar infinidad de aplicaciones profesionales para la línea, desde los fundamentos de la geometría; sin embargo, también es importante que asimiles la línea desde una postura simple.
A continuación deberás realizar dos dibujos de un paisaje de tu preferencia (real o fantástico), y al terminarlos deberás colorearlos utilizando para uno líneas paralelas, y para el otro, líneas perpendiculares. No olvides tener a la mano papel, lápiz, colores y escuadras.
Observa los siguientes ejemplos:
Al terminar, verifica si tus dibujos cubren los siguientes criterios. Selecciona los aspectos con los que cumple tu trabajo y revisa tu resultado.
Por último, no olvides compartir tus conocimientos con tus familiares, amigos y compañeros de estudio; incluso, por qué no pedirles una opinión, mostrando tus dibujos en una red social de tu preferencia.
Las paralelas, ángulos y perpendiculares conforman el diseño de muchos objetos a nuestro alrededor; por lo tanto, es importante que refuerces tu capacidad de identificar las líneas en la vida cotidiana.
Fuentes de información
Euclides.org. (2014). http://euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm. [Sitio que contiene definiciones, proposiciones, postulados y nociones comunes abordadas en los trece volúmenes de la obra Elementos, de Euclides.]
Bibliografía
Costa, A. F. (1995). Geometrías lineales y grupos de transformaciones. Universidad Nacional de Educación a Distancia.
Filloy, E. (1998). Didáctica e historia de la geometría euclidiana. Iberoamérica.
Documentos electrónicos
López, J. C. (s. f.). Manual de dibujo técnico. https://es.scribd.com/doc/4001536/Manual-Dibujo-Tecnico
Cómo citar
Jacinto, E. (2023). La línea. Unidades de Apoyo para el Aprendizaje. CUAIEED/Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán-UNAM. (Vínculo)
